Curiosidades de Matemática

VOCÊ FICARIA DE PÉ?

Havia um professor de filosofia que era um ateu convicto.

Sempre sua meta principal era tomar um semestre inteiro para provar que DEUS não existe.

Os estudantes sempre tinham medo de argüi-lo por causa da sua lógica impecável.

Por 20 anos ensinou e mostrou que jamais haveria alguém que ousasse contrariá-lo, embora, às vezes surgisse alguém que o tentasse, nunca o venciam.

No final de todo semestre, no último dia, fazia a mesma pergunta à sua classe de 300 alunos:

- Se há alguém aqui que ainda acredita em Jesus, que fique de pé!

Em 20 anos ninguém ousou levantar-se.

Sabiam o que o professor faria em seguida. Diria : - Porque qualquer um que acredita em Deus é um tolo! Se Deus existe impediria que este giz caísse ao chão e se quebrasse.

Esta simples questão provaria que Ele existe, mas, não pode fazer isso!
E todos os anos soltava o giz, que caia ao chão partindo-se em pedaços.

E todos os estudantes apenas ficavam quietos,
vendo a DEMONSTRAÇÃO.

A maioria dos alunos pensavam que Deus poderia não existir. Certamente, havia alguns cristãos mas, todos tiveram muito medo de ficar de pé.

Bem.... há alguns anos chegou a vez de um jovem cristão que tinha ouvido sobre a fama daquele professor. O jovem estava com medo, mas, por 3 meses daquele semestre orou todas as manhãs, pedindo que tivesse coragem de se levantar, não importando o que o professor dissesse ou o que a classe pensasse. Nada do que dissessem abalaria sua fé...
ao menos era seu desejo.

Finalmente o dia chegou. O professor disse:

- Se há alguém aqui que ainda acredita em Jesus, que fique de pé!
O professor e os 300 alunos viram, atônitos, o rapaz levantar-se no fundo da sala.

O professor gritou:
- Você é um TOLO!!! Se Deus existe impedirá que este giz caia ao chão e se quebre!
E começou a erguer o braço, quando soltou o giz, escorregou entre seus dedos, deslizou pela camisa, por uma das pernas da calça, correu sobre o sapato e ao tocar no chão simplesmente rolou, sem se quebrar.

O queixo do professor caiu enquanto seu olhar, assustado, seguia o giz.
Quando o giz parou de rolar levantou a cabeça... encarou o jovem e... saiu apressadamente da sala.
O rapaz caminhou firmemente para a frente de seus colegas e, por meia hora, compartilhou sua fé em Jesus. Os 300 estudantes ouviram, silenciosamente, sobre o amor de Deus por todos e sobre seu poder através de Jesus.
Muitas vezes passamos por situações em que acreditamos que "nosso giz" vai quebrar, mas Deus, com sua infinita sabedoria e poder faz o contrário, por isso, você tem duas opões:

1 - Apagar esta mensagem e esquecer a história ou,

2 - Passar a seus amigos, cristãos e não cristãos, dando-lhes a coragem que precisamos todos os dias ao nos levantarmos, e quem sabe a partir de agora você como o professor acredite nesse Deus tão maravilhoso!

EU ESTOU DE PÉ!!! Alguém me acompanha???

"Entender a vontade de Deus para nós, nem sempre é fácil, mas crer que Ele está no comando e que tem um plano pra nossa vida, faz a caminhada valer a pena." Deus te abençoe!
Criado por professor Luciano César

Adição de arcos

Cosseno da soma

Considere a figura ao lado. Sejam três pontos $A \;\!,$ $B \;\!$ e $C \;\!$ pertencentes à circunferência , cujas coordenadas são $A \left ( \cos a , \mathrm{sen}\, a \right ) \;\!,$ $B \left ( \cos \left ( a + b \right ) , \mathrm{sen}\, \left ( a + b \right ) \right ) \;\!$ e $C \left ( \cos b , -\mathrm{sen}\, b \right ) \;\!.$ Os arcos $\widehat{P B}$ e $\widehat{C A }$ têm medidas iguais, logo as cordas $\overline{P B}$ e $\overline{C A}$ também têm a mesma medida. Após aplicarmos a fórmula da distância entre dois pontos da Geometria analítica, temos:

$d_{PB}^2 = 2 - 2\cdot\cos \left ( a + b \right ) \;\!$

$d_{CA}^2 = 2 - 2\cdot\cos a\cdot\cos b + 2\cdot\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b \;\!$

Ao igualarmos as duas expressões, temos a fórmula:

Seno da soma

Sabemos que $\mathrm{sen}\, x = \cos \left ( \frac{\pi}{2} - x \right ) .$ A partir disto e sendo $x = a + b \;\!,$ obtemos:

$\mathrm{sen}\, \left ( a + b \right ) = \cos \left [ \frac{\pi}{2} - \left ( a + b \right ) \right ] = \cos \left [ \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) - b \right ]$

Utilizando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos nessa última expressão:

$\cos \left ( \frac{\pi}{2} - a \right )\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, \left ( \frac{\pi}{2} - a \right )\cdot\mathrm{sen}\, b$

Substituindo $\cos \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) = \mathrm{sen}\, a$ e $\mathrm{sen}\, \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) = \cos a$ nesta expressão, então:

Tangente da soma

Sabendo que $\tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x}$ e utilizando as fórmulas anteriores para soma de senos e cossenos, podemos facilmente conseguir uma expressão para $\tan \left ( a + b \right ) \;\!:$

$\tan \left ( a + b \right ) = \frac{\mathrm{sen}\, \left ( a + b \right )}{\cos \left ( a + b \right )} = \frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}$

$= \frac{\frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\cos a\cdot\cos b}}{\frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\cos a\cdot\cos b}}$

Então:

Vale lembrar que essa fórmula só pode ser usada se $a \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi$ e $a + b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in \mathbb{Z} ,$ porque a relação $\tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x}$ só é válida se e somente se $x \ne \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}.$

Cotangente da soma

Como $\cot x = \frac{\cos x}{\mathrm{sen}\, x} ,$ podemos obter, de maneira semelhante à formula da tangente da soma, uma expressão para $\cot \left ( a + b \right ) \;\!:$

$\cot \left ( a + b \right ) = \frac{\ cos \left ( a + b \right )}{\mathrm{sen}\, \left ( a + b \right )} = \frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}$

$= \frac{\frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}}{\frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}}$

Simplificando, temos:

Como $\cot x = \frac{\cos x}{\mathrm{sen}\, x}$ é válida se e somente se $x \ne 0, \pi, 2\pi \;\!,$ a identidade que demonstramos acima só pode ser usada se $a \ne k \pi, b \ne k \pi \;\!$ e $a + b \ne k \pi, k \in \mathbb{Z} \;\!.$

Exemplos

Calcule:

$\left ( 1 \right ) \;\!$ $\cos 75^\circ \;\!:$ $\left ( 2 \right ) \;\!$ $\mathrm{sen}\, 105^\circ \;\!:$ $\left ( 3 \right ) \;\!$ $\tan 105^\circ \;\!:$ $\left ( 4 \right ) \;\!$ $\cot 75^\circ \;\!$

- Resolução

$\left ( 1 \right ) \;\!$ $\cos 75^\circ = \cos \left ( 30^\circ + 45^\circ \right ) = \cos 30^\circ \cdot \cos 45^\circ - \mathrm{sen}\, 30^\circ \cdot \mathrm{sen}\, 45^\circ$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} :$ $\left ( 2 \right ) \;\!$ $\mathrm{sen}\, 105^\circ = \mathrm{sen}\, \left ( 45^\circ + 60^\circ \right ) = \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \cos 60^\circ + \mathrm{sen}\, 60^\circ \cdot \cos 45^\circ$ $= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} :$ $\left ( 3 \right ) \;\!$ $\tan 105^\circ = \tan \left ( 45^\circ + 60^\circ \right ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 60^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 60^\circ}$ $= \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}:$ $\left ( 4 \right ) \;\!$ $\cot 75^\circ = \cot \left ( 30^\circ + 45^\circ \right ) = \frac{\cot 30^\circ \cdot \cot 45^\circ - 1}{\cot 30^\circ + \cot 45^\circ}$ $= \frac{\sqrt{3} \cdot 1 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

Subtração de arcos

Cosseno da diferença

Para calcular $\cos \left ( a - b \right ) \;\!,$ fazemos uso da igualdade $a - b = a + \left ( -b \right ) \;\!$ na fórmula do cosseno da soma, conforme a seguir:

$\cos \left ( a - b \right ) = \cos \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] \;\!$

$= \cos a\cdot\cos \left ( -b \right ) - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, \left ( -b \right ) \;\!$ $= \cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\left ( -\mathrm{sen}\, b \right ) \;\!$

Então:

Seno da diferença

Podemos fazer a mesma substituição da igualdade $a - b = a + \left ( -b \right ) \;\!$ para encontrar as outras relações de diferença de arcos. Para o seno, usaremos a fórmula do seno da soma e a igualdade citada acima, conforme a seguir:

$\mathrm{sen}\, \left ( a - b \right ) = \mathrm{sen}\, \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] = \mathrm{sen}\, a\cdot\cos \left ( -b \right ) + \mathrm{sen}\, \left ( -b \right )\cdot\cos a \;\!$

Logo,

Tangente da diferença

Usando novamente a igualdade $a - b = a + \left ( -b \right ) \;\!$ e, desta vez, a fórmula da tangente da soma:

$\tan \left ( a - b \right ) = \tan \left [ a + \left ( - b \right ) \right ] = \frac{\tan a + \tan \left ( -b \right )}{1 - \tan a\cdot\tan \left ( -b \right )}$

Simplificando, temos:

Pelos motivos já citados anteriormente, esta fórmula só é válida se $a \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi$ e $a - b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in \mathbb{Z} .$

Cotangente da diferença

Mais uma vez, usaremos a igualdade $a - b = a + \left ( -b \right ) \;\!$ e, desta vez, a fórmula da cotangente da soma:

$\cot \left ( a - b \right ) = \cot \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] = \frac{\cot a\cdot\cot \left ( -b \right ) - 1}{\cot a + \cot \left ( -b \right )}$

Logo, obtemos a identidade:

Está fórmula só pode ser aplicada se $a \ne k \pi, b \ne k \pi \;\!$ e $a - b \ne k \pi, k \in \mathbb{Z} \;\!.$

Exemplos

Calcule:

$\left ( 1 \right ) \;\!$ $\cos 15^\circ \;\!:$ $\left ( 2 \right ) \;\!$ $\mathrm{sen}\, 15^\circ \;\!:$ $\left ( 3 \right ) \;\!$ $\cot 15^\circ \;\!$

- Resolução

$\left ( 1 \right ) \;\!$ $\cos 15^\circ = \cos 15^\circ \left ( 45^\circ - 30^\circ \right ) = \cos 45^\circ \cdot \cos 30^\circ + \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \mathrm{sen}\, 30^\circ$ $= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\left ( 2 \right ) \;\!$ $\mathrm{sen}\, 15^\circ = \mathrm{sen}\, 15^\circ \left ( 45^\circ - 30^\circ \right ) = \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \cos 30^\circ - \mathrm{sen}\, 30^\circ \cdot \cos 45^\circ$ $= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$\left ( 3 \right ) \;\!$ $\cot 15^\circ = \cot 15^\circ \left ( 60^\circ - 45^\circ \right ) = \frac{\cot 60^\circ \cdot \cot 45^\circ + 1}{\cot 45^\circ - \cot 60^\circ}$ $= \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Dados $\tan \alpha = 1 \;\!$ e $\tan \beta = \frac{1}{2} \;\!,$ calcule $\tan \left ( \alpha - \beta \right ) \;\!.$

- Resolução

$\tan \left ( \alpha - \beta \right ) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta}$ $= \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Multiplicação de arcos

É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de $2a, 3a,... \;\!,$ utilizando as fórmulas obtidas para a soma de arcos e fazendo $2a = a + a, 3a = 2a + a, ... \;\!,$ conforme será mostrado adiante.

Cosseno

Usando a fórmula do cosseno da soma, temos:

$\cos 2a = \cos \left ( a + a \right ) = \cos a \cdot \cos a - \mathrm{sen}\, a \cdot \mathrm{sen}\, a = \cos^2 a - \mathrm{sen}\,^2 a \;\!$

Logo, utilizando a Identidade relacional básica, podemos obter duas fórmulas finais:

ou

$\cos 3a = \cos \left ( 2a + a \right ) = \cos 2a \cdot \cos a - \mathrm{sen}\, 2a \cdot \mathrm{sen}\, a \;\!$

$= \left ( 2 \cos^2 a - 1 \right ) \cdot \cos a - \left ( 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a \right ) \cdot \mathrm{sen}\, a \;\!$ $= \left ( 2 \cos^2 a - 1 \right ) \cdot \cos a - 2\mathrm{sen}\,^2 a \cdot \cos a \;\!$

Utilizando a Identidade relacional básica e trabalhando algebricamente, temos:

Expressões para $\cos 4a, \cos 5a,...\;\!$ são obtidas por processos semelhantes.

Seno

Ultilizando a fórmula do seno da soma:

$\mathrm{sen}\, 2a = \mathrm{sen}\, \left ( a + a \right ) = \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a + \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a \;\!$

Então, temos:

$\mathrm{sen}\, 3a = \mathrm{sen}\, \left ( 2a + a \right ) = \mathrm{sen}\, 2a \cdot \cos a + \cos 2a \cdot \mathrm{sen}\, a \;\!$

$= \left ( 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a \right ) \cdot \cos a + \mathrm{sen}\, a \left ( 1 - 2 \cdot \ sen^2 a \right ) \;\!$

Utilizando a Identidade relacional básica:

$= 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \left ( 1 - \mathrm{sen}\,^2 a \right ) + \mathrm{sen}\, a \cdot \left ( 1 - 2 \cdot \mathrm{sen}\,^2 a \right ) \;\!$

Logo:

Expressões para $\mathrm{sen}\, 4a, \mathrm{sen}\, 5a,...\;\!$ são obtidas por processos semelhantes.

Tangente

A partir da fórmula da tangente da soma:

$\tan 2a = \tan \left ( a + a \right ) = \frac{\tan a + \tan a}{1 - \tan a \cdot \tan a} \;\!$

Logo:

$\tan 3a = \tan \left ( 2a + a \right ) = \frac{\tan 2a + \tan a}{1 - \tan 2a \cdot \tan a} \;\!$

Ao subtituimos a fórmula anterior para $\tan 2a \;\!$ e simplificarmos, obtemos como fórmula final:

Expressões para $\tan 4a, \tan 5a,... \;\!$ são obtidas por processos semelhantes.

Exemplo

Se $\cot x = \frac{5}{3} \;\!$ e $0 < x < \frac{\pi}{2} \;\!,$ calcule $\cos 2x \;\!.$

- Resolução

Precisamos encontrar $\mathrm{sen}\, x \;\!$ para aplicarmos a fórmula. Para tanto, utilizaremos a identidade $\csc^2 x = 1 + \cot^2 x \;\!,$ que relaciona as funções cotangente e cossecante. A partir da cossecante obtida, podemos encontrar o valor do seno, uma vez que $\csc x = \frac{1}{\mathrm{sen}\, x} \;\!.$ Como $0 < x < \frac{\pi}{2} \;\!,$ o valor da cossecante é positivo.

$\csc x = \sqrt{1 + \cot^2 x} = \sqrt{1 + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{34}{9}} = \frac{\sqrt{34}}{3}$

De onde vem $\mathrm{sen}\, x = \frac{3}{\sqrt{34}} .$

Podemos finalmente calcular:

$\cos 2x = 1 - 2 \cdot \ sin^2 x = 1 - 2 \cdot \frac{9}{34} = 1 - \frac{18}{34} = \frac{8}{17} .$

Bissecção de arcos

Cosseno

Vamos utilizar as duas fórmulas que encontramos para $\cos 2a \;\!$ a fim de que, dado o cosseno de uma arco $x \;\!$ qualquer, possamos obter $\cos \frac{x}{2}, \mathrm{sen}\, \frac{x}{2} \;\!$ ou $\tan \frac{x}{2} \;\! .$ Para isto, consideraremos $2a = x \;\! .$

A partir de $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 \;\!:$

$\cos x = 2 \cdot \cos^2 \frac{x}{2} - 1$

A partir de $\cos 2a = 1 - 2\mathrm{sen}\,^2 a\;\!,$ temos:

$\cos x = 1 - 2 \cdot \mathrm{sen}\,^2 \frac{x}{2}\;\!$

Finalmente, sabendo que $\tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x} ,$ temos:

$\tan \frac{x}{2} = \frac{\mathrm{sen}\,\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}$

Seno

Caso nos seja dado o $\mathrm{sen}\, x \;\!,$ sabendo que $\cos x = \pm \sqrt{1 - \mathrm{sen}\,^2 x} ,$ calculamos $\cos x \;\!$ e usamos as fórmulas dadas logo acima para o cosseno.

Tangente

Precisamos agora encontrar fórmulas que permitam calcular $\mathrm{sen}\, x \;\!,$ $\cos x \;\!$ e $\tan x \;\!,$ conhecida a $\tan \frac{x}{2}.$ Para tanto, tomaremos as fórmulas de multiplicação

$\mathrm{sen}\, 2a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \frac{\cos^2 a}{\cos a} = 2 \cdot \frac{\mathrm{sen}\, a}{\cos a} \cdot \frac{1}{\sec^2 a} = \frac{2 \cdot \tan a}{1 + \tan^2 a} \;\!$

$\tan 2a = \frac{2 \cdot \tan a}{1 - \tan^2 a}$

e consideraremos $2a = x \;\! ,$ de modo que:

Exemplos

Se $\mathrm{sen}\, x = \frac{4}{5} ,$ com $0 < x <\frac{\pi}{2} ,$ calcule as funções circulares de $\frac{x}{2} .$

- Resolução

$\cos x = \sqrt{1 - \mathrm{sen}\,^2 x} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

Logo, temos:

$\mathrm{sen}\, \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} :$ $\cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} :$ $\tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{1 + \frac{3}{5}}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Se $\tan \frac{x}{2} = \frac{1}{4} ,$ determine $\mathrm{sen}\, x \;\!.$

- Resolução

Podemos aplicar diretamente a fórmula, de modo que:

$\mathrm{sen}\, x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{16}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{17}{16}} = \frac{8}{17}$

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domingo, 27 de fevereiro de 2011

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sábado, 10 de julho de 2010

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